Estudio de construcciones: determinación del inverso de un punto .

Dada una inversión definida por su centro I y su potencia de inversión k, hoy veremos tres construcciones diferentes para encontrar el inverso del punto P.

1.Teorema del cateto:

El teorema del cateto nos dice que el cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa y la hipotenusa.

Sabemos que el punto P y su inverso tienen que estar alineados con el centro de inversión I, luego el punto inverso que será P’, estará en la recta IP que en nuestro caso tomaremos como la hipotenusa.

Si tomamos k como la distancia del cateto, y construimos un triángulo rectángulo a través del arco capaz cuya hipotenusa sea IP, podríamos entonces aplicar el teorema del cateto según lo visto mediante la siguiente fórmula k²= IPxIP’. La proyección del cateto k sobre la hipotenusa IP nos determinará entonces el punto inverso P’.

2.Teorema de Thales

El teorema de Thales establece una relación de semejanza de modo que toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros dos lados o con sus prolongaciones otro triángulo que es semejante al triángulo dado.

Para nuestra construcción partiremos del triángulo IPQ. Para determinar un triángulo semejante trazando una paralela a la recta PQ, pero en este caso no interesa trazar dicha paralela desde el punto donde corta la circunferencia de auto inversión a la recta IP, que denominaremos a dicho punto como P1. Al trazar la paralela a la recta PQ desde P1 obtenemos un nuevo triángulo I P1 Q1 , que es un triángulo semejante a IPQ . Para deshacer esta semejanza, y sabiendo que el inverso del punto P está alineado con I, lo que tenemos que hacer ahora es trasladar el punto Q1 sobre la recta IP, y obtendremos P’.

3.Teorema de la altura:

El teorema de la altura nos dice que la altura de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los dos segmentos en los que divide a la hipotenusa.

Sabemos que el punto P y su inverso tienen que estar alineados con el centro de inversión I, luego el punto inverso que será P’, estará en la recta IP que en nuestro caso tomaremos como la hipotenusa.

Si tomamos k como la altura del triángulo, y construimos un triángulo rectángulo que tenga como altura k como uno e sus catetos el segmento PK, obtendremos entonces el punto de corte del otro cateto sobre la hipotenusa con el que el cateto PK forma un ángulo recto.

Si de lo que se trata de determinar una inversión positiva, sabemos que en una inversión positiva un punto y su inverso están al mismo lado respecto del centro de inversión. Con lo que simplemente tendremos que trasladar el punto de corte obtenido para que se encuentre al mismo lado que l punto P respecto del centro de inversión.