Cónicas. Hallar las tangentes a una hipérbola desde un punto

 

Nos dan un problema cuyo enunciado es el siguiente:

-Dadas dos asíntotas y un foco de una hipérbola, hallar las tangentes a la hipérbola desde el punto "R".

Lo primero que haremos será definir todos los elementos de la hipérbola. En primer lugar, sabemos que las asíntotas son tangentes a la hipérbola en un punto del infinito que pasan por el centro de la misma, luego ya tenemos el centro, y al tener un foco podemos definir la recta que será el lugar geométrico donde se encuentre el otro foco por simetría, y donde también estarán los vértices. 

Sabemos que el inverso del foco F2 respecto de la asíntota tangente es un punto que pertenece a la circunferencia focal y que el pie de la perpendicular pertenece a la circunferencia principal, y con estos datos ya podemos dejar definidos los vértices y así tenemos ya definidos todos los elementos de la hipérbola.

Una vez definidos los elementos de una hipérbola, para hallar las tangentes desde un punto lo haremos siguiendo el mismo procedimiento que seguiríamos para una elipse. 

Con centro en R hacemos una circunferencia que pase por F2 y obtenemos los puntos de intersección "H" y "T "entre ambas circunferencias. Las mediatices resultantes de las rectas que unen respectivamente dichos puntos con el foco F2 serán las tangentes a la hipérbola que pasen por el punto "R".

Si nos hubiesen pedido los puntos de tangencia, bastaría con unir los puntos "H" y "T" con el otro foco y ver dónde se produce la intersección con las rectas tangentes para obtener "T1" y "T2" respectivamente.